路线选择问题

路线选择问题.
通常是选取最短路线:
两点之间线段最短;
三角形任意两边长大于第三边,任意两边差小于第三边;
直线外一点到直线距离,垂线段最短.

最值问题的解决方法通常有两种:
   (1) 应用几何性质:
     ① 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
     ② 两点间线段最短;
     ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短;
      ④ 定圆中的所有弦中,直径最长。

  • 应用函数的性质

 ①二次函数(a、b、c为常数且)其性质中有

①若当时,y有最小值。;

②若当时,y有最大值。。

② 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。

     通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.

在本讲所举的例中,如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内,那么所求的最短路线是线段;如果它们位于凸多面体的不同平面上,而允许走的路程限于凸多面体表面,那么所求的最短路线是折线段;如果它们位于圆柱和圆锥面上,那么所求的最短路线是曲线段;但允许上述哪种情况,它们都有一个共同点:当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时,例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等,将它们展开在一个平面上,两点间的最短路线则是连结两点的直线段.

在求最短路线时,一般我们先用“对称、平移、旋转”的方法化成两点之间的最短距离问题,而两点之间直线段最短,从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题,再设法解决,是数学中一种常用的重要思想方法.

一、点关于一条直线的对称问题

问题超市:一天,天气很热,小明想回家,但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小狗到河边喝上水,同是回家又最近?

问题数学化:设小明与小狗在A处,家在B处,小河为L,小明要在直线L上找一个点C(小狗在C处饮水),使得AC+BC最短。(如图所示)

知识介绍:两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段来研究,利用两点之间的线段最短,可以得出结果。

轴对称有两个基本特征:垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是:过M作MO垂直于PQ于点O,并延长MO到点N,使NO=MO,则点N就是点M关于直线PQ的对称点。

问题分析:过A作AO垂直于直

线L于点O,延长AO到点A’,使A’O=AO,连接A’B,交直线L于点

C,则小明沿着ACB的路径就可以满

足小狗喝上水,同时又使回家的路

程最短。

问题的证明方法:三角形两边之和大于第三边及对称的性质。

问题的延伸1:已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两

点A、B,使AB=m,且PA+PB最短。(其中m为定值)

提示:作PC平行于AB,且PC==AB,则问题变为:在直线L

上找一个点B,使它到P、C两点的距离之和最短。

问题的延伸2:在两条相交线之外有一个定点P,分别在两条直线上找点B、C使得PB+BC+CP最短,如何确定B、C的位置?

提示:分别作点P关于直线L1和直线L2的对称点P1和P2,连接P1P2分别与两直线交于B、C点,则PB+BC+PC最短。证明方法同上。

 1、如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为        ,最小值为        .

 2、如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为           .

3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于          .

4.如图,A点是半圆上一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,则AP+BP的最小值为(    )

     A.1          B.        C.         D.

5.如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是(    )

    A.   B.   C.  D.

6、如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点,E,F分别是AP、RP的中点,当P在BC上从B向C移动而R不动时,那么下列结论成立的是(    )

    A.线段EF的长逐渐增大     B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变       D.线段EF的长不能确定

  7、如图(7)所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点Px,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是

  A.(,0)        B.(1,0)         C.(,0)       D.(,0)

    8、 如图,平原上有A、B、C、D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它与四个村庄的距离之和最小       .                                                         

       9、 如图,直线l是一条河,PQ两地相距8千米,PQ两地到l的距离分别为2千米、5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向PQ两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是(   ).              

10、在一平直河岸同侧有两个村庄,到的距离分别是3km和2km,

.现计划在河岸上建一抽水站,用输水管向两个村庄供水.

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中于点);图13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中点与点关于对称,与交于点).

观察计算

(1)在方案一中,         km(用含的式子表示);

(2)在方案二中,组长小宇为了计算的长,作了如图13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,         km(用含的式子表示).

探索归纳

(1)①当时,比较大小:(填“>”、“=”或“<”);

②当时,比较大小:(填“>”、“=”或“<”);

(2)请你参考右边方框中的方法指导,

就(当时)的所有取值情况进

行分析,要使铺设的管道长度较短,

应选择方案一还是方案二?

11、 点A的坐标为(1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为

A.(0,0)

B.(,-)

C.(,-)

D.(-,)

12、    如图,有一木质圆柱形笔筒的高为h,底面半径为r,现要围绕笔筒的表面由A至A1(A,A1在圆柱的同一轴截面上)镶入一条银色金属线作为装饰,这条金属线的最短长度是

13、问题超市:农场里有一条小河,里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂,农场主经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车,想在农场内建造一条马路,同时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直,可是桥应该建在何处,才能使两个加工厂之间的路程最短?

14、长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,A′A=2′,AD=1,有一只小虫从顶点D′出发,沿长方体表面爬到B点,问这只小虫怎样爬距离最短?(见图(1))

15、已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0.3),与X轴交于点B(1.0)c(5.0)两点

(1)求抛物线的解析式

(2)若点D为线段的一个三等分点,求直线DC的解析式

(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达X轴的某点(设为点E),在到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A,并使P运动的总路径最短,求出这个最短总路径的长。

16、已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴交点于A、B两点,A(-1,0)。

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标; 

(2)设C是抛物线与y轴的交点,△ABC的面积为3,求此抛物线的表达方式;(3)若D是第二象限内到x轴、y轴距离的比为5∶2的点,且点D在(2)中的抛物线上,在抛物线的对称轴上是否存在点E,使DE与EA的差最大?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由。

17、 如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.

⑴ 求证:△AMB≌△ENB;

⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;

②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;

⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.

18、在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点AB分别在轴、

轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.

(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;

(Ⅱ)若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.

19、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为,。

(1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元;

    (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?

20、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少?

     、

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